上溢与下溢

一、无符号整数

表示范围（ $n$ 位）： $0 \sim 2^{n} - 1$

情况	触发条件	结果
上溢（Overflow）	运算结果 $> 2^{n} - 1$	最高位进位丢失，结果 $= 真值 mod 2^{n}$
下溢（Underflow）	运算结果 $< 0$ （减法借位）	最高位借位丢失，结果 $= 真值 + 2^{n}$

无符号整数没有”溢出检测”标志位的概念，CPU 用 进位标志 CF 来指示。

示例（8 位）：

表示范围（ $n$ 位）： $- 2^{n - 1} \sim 2^{n - 1} - 1$

情况	触发条件	判断方法
正溢出（上溢）	两正数相加，结果 $> 2^{n - 1} - 1$	结果符号位为 1（变负）
负溢出（下溢）	两负数相加，结果 $< - 2^{n - 1}$	结果符号位为 0（变正）

同符号相减不会溢出；异符号相加不会溢出。

方法一：双符号位法（变形补码）

用 2 位表示符号位：00 正，11 负；若出现 01 或 10，则溢出。

V = S_{1} \oplus S_{0}

其中 $S_{1}$ 为高位符号， $S_{0}$ 为低位符号， $V = 1$ 表示溢出。

方法二：进位判断法

V = C_{n - 1} \oplus C_{n}

$C_{n}$ 为最高位（符号位）的进位， $C_{n - 1}$ 为次高位（数值最高位）的进位，两者不同则溢出。

示例（8 位）：

浮点数由阶码 E（指数）和尾数 M（有效值）组成，溢出分两类：

情况	含义	表现
上溢（Exponent Overflow）	阶码 $>$ 最大值	数值超出可表示范围，结果为 $\pm \infty$
下溢（Exponent Underflow）	阶码 $<$ 最小值	数值绝对值过小，通常归零处理（flush to zero）

注意：浮点下溢 ≠ 负无穷，而是指数值太接近 0 无法表示，结果当作 0 处理。

最大正数 \approx 3.4 \times 1 0^{38}, 最小正规数 \approx 1.18 \times 1 0^{- 38}

区间	描述
$∥ x ∥ > 3.4 \times 1 0^{38}$	上溢，结果为 $\pm \infty$
$1.18 \times 1 0^{- 38} > ∥ x ∥ > 0$	下溢，进入非规格化数（denormal）或归零

运算结果
   │
   ├─ 阶码 > 最大值 ──→ 上溢 → ±∞ / 报异常
   │
   ├─ 阶码 < 最小值 ──→ 下溢 → 非规格化数 / 归零 / 报异常
   │
   └─ 阶码正常，尾数规格化 ──→ 正常结果